1. Заходите в PHPMyAdmin на текущем сервере.
2.1. Если баз несколько, то выберите необходимую из списка.
2.2. Если одна, то нажмите на нее.
3. Заходите в пункт меню "Экспорт".
4. В колонке "Экспорт" выделяем все таблицы из списка путем нажатия на ссылочку "Отметить все".
5. В колонке "Опции SQL" галочки должны стоять напротив следующих вариантов: "Структура", "Добавить значение AUTO_INCREMENT", "Обратные кавычки в названиях таблиц и полей" (кстати, в большинстве случаев галочки на этих вариантах стоят по-умолчанию).
6. Колонка "Данные". Галочки должны стоять напротив следующих выборок: "Полная вставка". Export type: "INSERT" (по-умолчанию).
7. Колонка "Послать". Поставьте галочку.
8. Подколонка "Сжатие". Если база большая, то для более быстрого скачивания (в раз 10 быстрее) выберите тот или иной вид архивирования данных.
9. Нажимаете кнопочку "Пошел".
10. После этого Дамп Базы Данных будет скачан и сохранен на Вашем компьютере.
11. Если Вы скачали сжатый (заархивированный) вариант Базы Данных, то Вам следует его разархивировать.
12. Заходите в PHPMyAdmin на сервере нового хостинг-провайдера.
13.1. Если баз несколько, то выберите необходимую из списка.
13.2. Если одна, то нажмите на нее.
14. Заходите в пункт меню "SQL".
15. Нажимаете на кнопочку "Обзор" и находите на своем компьютере Дамп Базы Данных.
16. Нажимаете на кнопочку "Пошел" и дожидаетесь (чем больше База Данных, тем дольше нужно ждать) сообщения об успешном выполнении инструкций.

Все.